Question

已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,并且BD=AC,试判断EG与FH是否相交?若相交求出它们所成角的大小;若不相交请说明理由.

Answer 1

解析:利用三角形中位线的性质及平行线的传递性,观察四边形EFGH的对边之间的关系.

解:∵E、H分别为AB、DA的中点,

∴EH∥BD且EH=BD.

同理,FG∥BD且FG=BD.

∴EHFG.

∴四边形EFGH为平行四边形.

∴EG与FH相交.

∵F为BC的中点,E为AB的中点,

∴EF=AC.

又BD=AC,

∴EF=FG.

∴四边形EFGH为菱形.

∴EG⊥FH,即EG与FH所成的角为90°.

小结:(1)四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形,对于空间四边形ABCD来说,AC、BD都是它的对角线.

(2)本例解答中,由EH∥BD、FG∥BD推出EH∥FG,利用的是平行线的传递性(公理4).