Question

22．已知函数，，且对任意的实数均有，．

（I）求函数的解析式；

（II）若对任意的，恒有f(x)≥x³－mx－11，求的取值范围．

Answer 1

分析:本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识,考查数形结合能力以及综合运用数学基本关系解决问题的能力.

(1)解法一:由题设得g(x)=3x²－18xcos+48cosβ,

又由1+∈(1,2］,3+sint∈［2,4］,

知g(x)≥0在x∈(1,2］上成立,g(x)≤0在x∈［2,4］上成立,由此易得g(2)=0.

设g(x)=0的另一根为x₀.

由y=g(x)的图象为开口向上的抛物线,得x₀≥4,而2+x₀=6cos,

所以6cos≥6.

又6cos≤6,得cos=1.

代入g(2)=0,得cosβ=,即得f(x)=x³－9x²+24x. 6分

解法二:由题设得g(x)=3x²－18xcos+48cosβ, 2分

由g(1+)≥0,g(3+sint)≤0,

得g(1+)=g(2)≥0,g(3+sin)=g(2)≤0,g(4)=g(3+sin)≤0,

即有

由①②得36－36cos≤0,即1－cos≤0.

又1－cos≥0,故cos=1.

代入①得cosβ=,即得f(x)=x³－9x²+24x.

(2)解:由题设,知对任意的m∈［－26,6］恒有mx－9x²+24x+11≥0,令h(m)=mx－9x²+24x+11,

则有

解得

即－≤x≤1.