Question

设
（1）指出f（x）的单调性，说明理由；
（2）求F（x）=4^x-2^f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵，
∴1-2^x＞0，解得x∈（-∞，0）
设，
∵u=1-2^x在（-∞，0）上是减函数，y=log₂u是增函数，
∴由复合函数单调性的性质，知y=lg₂（1-2^x）在（-∞，0）上单调递减．
（2）∵，
∴2^f（x）==1-2x，
∵F（x）=4^x-2^f（x），
∴F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），
令2^x=t，则t∈（0，1），
y=t²+t-1=（t+）²-，
∴当t=0时，y_min=（0+）²-=-1；
当t→1时，y_max→（1+）²-=1，
∴F（x）=4^x-2^f（x）的值域为[-1，1）．
分析：（1）由，知x∈（-∞，0），设，由此利用复合函数单调性的性质能判断f（x）的单调性．
（2）由，把F（x）=4^x-2^f（x）等价转化为F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），由此利用换元法和二次函数的性质能求出F（x）=4^x-2^f（x）的值域．
点评：本题考查函数的单调和值域的求法，解题时要合理地运用换元法和复合函数单调性的性质、二次函数的性质．