Question

7．设函数f（x）=|x²-2x|-ax-a，其中a＞0，若只存在两个整数x，使得f（x）＜0，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 分别画出y=|x²-2x|与y=a（x+1）的图象，则存在两个整数，使得y=|x²-2x|在直线y=ax+a的下方，结合图象即可求出函数a的范围

解答 解：f（x）=|x²-2x|-ax-a＜0，
则|x²-2x|＜ax+a，
分别画出y=|x²-2x|与y=a（x+1）的图象，如图所示，
∵只存在两个整数x，使得f（x）＜0，
当x=1时，y=|1²-2|=1，
∴2a=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，此时有2个整数，
结合图象可得a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]，
故答案为（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题分段函数的问题，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．