Question

已知集合A={y|y=x2-

3

2

x-

7

16

，x∈[0，

11

4

]}，B={x|x²?m≤0}，“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由二次函数区间的最值可化简集合A，对m分类再由集合的包含关系通过解不等式可得结果．

解答：解：化简集合A，由y=x2-

3

2

x-

7

16

，配方得y=(x-

3

4

)2-1，…（2分）
∵x∈[0，

11

4

]，∴当x=

3

4

时，y_min=-1；当x=

11

4

时，y_max=3．
∴y∈[-1，3]，∴A={y|-1≤y≤3}．…（6分）
∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B是A的子集．             …（7分）
化简集合B，①当m＜0时，B=∅，∴B⊆A，满足题设． …（9分）
②当m≥0时，由x²-m≤0得-

m

≤x≤

m

，∴B={x|-

m

≤x≤

m

}
∵B⊆A，∴-

m

≥-1，解之得0≤m≤1．      …（11分）
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．    …（12分）

点评：本题考查集合的包含关系，涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想，属基础题．