Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长a，点D在棱A₁C₁上.

(Ⅰ)若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

(Ⅱ)是否存在点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的大小为arctan2.

Answer 1

答案：(Ⅰ)证：连接A₁B交AB₁于E点, 

在平行四边形ABB₁A₁,中,有A₁E=BE,又A₁D=DC₁ 

∴DE为△A₁BC₁的中位线,从而DE∥BC₁,又DE平面AB₁D

∴直线BC₁∥平面AB₁D； 

(Ⅱ)解：假设存在点D,使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁,过点D作DN⊥AB₁于N,则DN⊥平面ABB₁A₁,又过D作DM⊥A₁B₁于M,则DM⊥平面ABB₁A₁,

而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,故M、N应重合于B₁点,此时应有DB₁⊥A₁B₁,故∠A₁B₁D=90°,又点D在棱A₁C₁上,故∠A₁BD≤∠A₁B₁C₁=60°,显然矛盾,故不存在这样的点D,使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁,

(Ⅲ)解：连接MN,过A₁作A₁F上AB₁于F由(Ⅱ)中的作法可知

∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角, 

设=λ,则则可得DM=λ,A₁F=a,

∴tanθ=.

∴即点D在棱A₁C₁上且.