Question

已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量

m

=(sinA，sinB)，

n

=(cosB，cosA)，且

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

CA

•

CB

=18，求边c的长．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），
∴

m

•

n

=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，
∴2sinC=sinA+sinB，
利用正弦定理化简得：2c=a+b，
∵

CA

•

CB

=18，
∴abcosC=

1

2

ab=18，即ab=36，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
将a+b=2c，ab=36代入得：c²=4c²-108，即c²=36，
解得：c=6．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．