Question

已知椭圆（0＜b＜3）与双曲线x²-=1有相同的焦点F₁，F₂，P是两曲线位于第一象限的一个交点，则cos∠F₁PF₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据由椭圆、双曲线的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2，两式平方整理得|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8．最后在△F₁PF₂利用余弦定理，即可算出cos∠F₁PF₂的值．
解答：解：∵双曲线x²-=1中，c==2，
双曲线与椭圆有公共的焦点
∴椭圆（0＜b＜3）的焦点坐标为（±2，0）
可得=2，得b=
∵由椭圆、双曲线的定义，可得
|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2
∴两式平方整理得
|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8
△F₁PF₂由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂===
故答案为：
点评：本题着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程，利用余弦定理解三角形等知识，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．