Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，S_n=n²a_n-n(n-1)，n∈N^*．

(Ⅰ)求证：数列{·S_n}是等差数列；

(Ⅱ)设b_n=·pⁿ(其中p＞0为常数)，求b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)当n≥2时，

==1

∴数列{·S_n}是以1为首项和公差的等差数列．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S_n=1+n-1=S_n=，

∴b_n=·pⁿ=n·pⁿ

即令    T_n= b₁+b₂+…+b_n=p+2p²+3p³+…+npⁿ(1)

由于常数p＞0，则pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+npⁿ⁺¹(2) 

①当p=1时，T_n= b₁+b2+…+b_n=1+2+…+n=，

②当p≠1时，将(1)-(2)得：

(1-p)T_n=p+p²+p³+…+pⁿ-npⁿ⁺¹=-npⁿ⁺¹，

∴T_n=,

∴b₁+b₂+…+b_n=．