Question

设函数f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos 2

x

2

，x∈R，函数的值域

[0，2]

．

Answer 1

分析：利用两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式化简函数 f（x）的解析式为  sin（x+

5π

6

）+1，由此求得函数的值域．

解答：解：∵f（x）=cos（x+

2π

3

）+2cos2

x

2

=cosx•cos

2π

3

-sinxsin

2π

3

+cosx+1=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin（x+

5π

6

）+1，
由于-1≤sin（x+

5π

6

）≤1，∴0≤sin（x+

5π

6

）+1≤2，故函数 f（x）的值域为[0，2]，
故答案为[0，2]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．