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    已知x1＞0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xn＜xn+1，或者对任意n∈N都满足xn＞xn+1.

    证明：由于xn+1-xn=-xn=且x1＞0,又由题设可知对任意n∈N,有xn＞0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1＜1与x1＞1两种情况讨论.

    （1）若x1＜1,用数归纳法证明1-xn2＞0.

    1°当n=1时，1-x12＞0成立.

    2°假设当n=k时，1-xk2＞0成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-［］2=＞0，即当n=k+1时，有1-xk+12＞0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2＞0,∴对任意n∈N,有xn+1＞xn.

    (2)若x1＞1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2＜0,此时有xn+1＜xn.综合（1）、（2），原问题获证.

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    C.x1＜x3＜x2                                                     D.x2＜x3＜x1

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北夷陵中学高三第一次阶段性考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）

        已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

        ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

        ②f（1）＝1; 

        ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 则有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

       （1）试求f（0）的值;

       （2）试求函数f（x）的最大值；

    （3）试证明：当x, nN＋时，f（x）<2x．

     

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        已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

        ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

        ②f（1）＝1; 

        ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 则有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

       （1）试求f（0）的值;

       （2）试求函数f（x）的最大值；

    （3）试证明：当x, nN＋时，f（x）<2x．

     

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