Question

设0＜α＜π＜β＜2π，向量．
（1）若，求α；
（2）若，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量垂直的性质，求得tanα 的值，即可得到α的值．
（2）由题意可得 的坐标，再根据=求得sinβcosβ的值，根据β的范围，从而求得sinβ+cosβ的值．
解答：解：（1）若，则 =2cosα-2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=．
（2）由题意可得 =（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ），
∴===，∴sinβcosβ=．
结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故 sinβ+cosβ＜0．
∴sinβ+cosβ=-=-=-．
（3）若tanαtanβ=4，则有 ，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴，
故与的坐标对应成比例，故．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、求向量的模、同角三角函数的基本关系以及两个向量共线的条件，两个向量垂直的性质，属于中档题．