Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称，若g(x)=f(x)+

a

x

，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[3，+∞）

B．[2，+∞）

C．（0，3]

D．（0，2]

Answer 1

分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2-h（-x）=x+

1

x

，由此可得g（x）=x+

a+1

x

．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）的图象与函数h(x)=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称，
∴f（x）=2-h（-x）=2-（-x+

1

-x

+2）=x+

1

x

由此可得g(x)=f(x)+

a

x

=x+

a+1

x

，对g（x）求导数，得g'（x）=1-

a+1

x2

∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，
∴g'（x）=1-

a+1

x2

≤0在区间（0，2]恒成立，即

a+1

x2

≥1，可得x²≤a+1
∴x²的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3
故选A

点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．