Question

已知抛物线的方程为x²＝2py(p＞0)，过点p(0，p)的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M．

(Ⅰ)证明：直线l₁和l₂的斜率之积为定值；

(Ⅱ)求点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋p， 　　将其代入x2＝2py，消去y整理得x2－2pkx－2p2＝0．　　2分 　　设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－2p2．　　3分 　　将抛物线的方程改写为y＝，求导得＝ 　　所以过点A的切线l1的斜率是k1＝，过点B的切线l2的斜率是k2＝， 　　故k1k2＝，所以直线l1和l2的斜率之积为定值－2．　　6分 　　(Ⅱ)解： 　　设M(x，y)．因为直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即， 　　同理，直线l2的方程为， 　　联立这两个方程，消去y得， 　　整理得(x1－x2)＝0，注意到x1≠x2，所以x＝．　　10分 　　此时y＝．　　12分 　　由(Ⅰ)知，x1＋x2＝2pk，所以x＝＝pkR， 　　所以点M的轨迹方程是y＝－p．　　14分