Question

（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；

（Ⅲ）求

                 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  

（Ⅱ）=3ⁿ－1（） ，证明略

（Ⅲ）略

【解析】解：（Ⅰ）由框图，知数列  ………2分

∴                ………4分

（Ⅱ）由框图，知数列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2           ………5分

∴                                     ………6分

∴     ∴数列{y_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴+1=3·3^n－1=3ⁿ

∴=3ⁿ－1（）                             ………8分

（Ⅲ）z_n=

=1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2n－1）（3ⁿ－1）

=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ－[1+3+…+（2n－1）]            ………9分

记S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①

则3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹  ②

①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2×=