Question

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(Ⅰ)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

(Ⅱ)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法一： 　　取CD的中点G，连接MG，NG． 　　设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 　　则MG⊥CD，MG＝2，NG＝． 　　因为平面ABCD⊥平面DCED， 　　所以MG⊥平面DCEF， 　　可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．因为MN＝，所以sin∠MNG＝为MN与平面DCEF所成角的正弦值 　　解法二： 　　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图． 　　则M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得＝(－1，1，2)． 　　又＝(0，0，2)为平面DCEF的法向量， 　　可得cos(，)＝ 　　所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 　　cos 　　(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， 　　则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 　　由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF． 　　又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 　　所以AB∥EN． 　　又AB∥CD∥EF， 　　所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． 　　所以ME与BN不共面，它们是异面直线