Question

设函数f{x)=|x²-4x-5|，g(x)=k(x-7)．

(1)画出f(x)的简图；

(2)若方程f(x)=g(x)有三个不等实根，求k值的集合；

(3)如果x∈[-1，5]时，函数f(x)的图像总在直线y=k(x-7)的下方，试求出k值的集合．

Answer 1

解：(1)函数简图如下：

(2)x∈[-1，5]时，f(x)=-x²+4x+5

令-x²+4x+5=k(x-7)，

则x²+(k-4)x-7k-5=0

当△=0时，直线y=k(x-7)与抛物线y=-x²+4x+5 (x∈[-1，5])弧段相切，

由△=(k-4)²+20+28k=0得：

k=-2或k=-18．

当k=-2时，解之，得x=3∈[-1，5]

当k=-18时，x²-22x+121=0．

解之，得x=11[-1，5]

∴A=-2时直线y=k(x-7)与抛物线

y=-x²+4x+5 (x∈[-1，5))弧段相切于点(3，8)

同时，直线y=k(x-7)与抛物线y=x²-4x-5

(x[-1，5])部分相交于不同两点．

由图形可知，直线y=k(x-7)绕点(7，0)转动时，除k=-2外的所有直线与图像无公共点或有两个公共点或有四个公共点．故k=-2为所求．

(3)设k(x-7)＞-x²+4x+5  (x∈[-1，5])恒成立，且k＜=（7-x）+-10

∵7-x＞0，

∴7-x+-10≥-10=-2

∴k＜-2即为所求．