Question

已知（e≈2.71828）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设’若存在x₁，x₂∈[0，4]使得成的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数求导，使得导函数分别大于0，小于0，求对应的不等式的解集，求解集时小于对字母系数的值进行讨论，比较出大小才能做出单调区间．
（2）根据a＜0，知f（x）在[0，2）上为增函数，在（2，4]上为减函数，分别求出两个函数的最大值和最小值，利用函数的恒成立的思想，得到两者之间的关系，解不等式得到结果．
解答：解：（1）①当a＜2时，由f′（x）＞0得2＜x＜a  由f′（x）＜0得x＜a或x＞2
∴f（x）的单调递增区间为（a，2），单调减区间为（-∞，2）（a，+∞）
②当a=2时，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
③当a＞2时，由f′（x）＞0，得2＜x＜a 由f′（x）＜0得x＜2或x＞a
∴f（x）的单调递增区间为（2，a），单调减区间为（-∞，2）（a，+∞）
（2）∵a＜0，由（1）知f（x）在[0，2）上为增函数，在（2，4]上为减函数
∴当x∈[0，4]时f（x）_max=f（2）=又
∵g（x）=在[0，4]上为减函数
∴g（x）_min=g（4）=
∵=
∴g（x）_min＞f（x）_max恒成立，
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|
只需个g（x）_min-f
∴a²+a-2＜0
∴-2＜a＜1
∵a＜0
∴a∈（-2，0）
点评：本题考查导数的应用和函数的恒成立问题，是一个综合题目，这种题目解题的关键是利用函数的思想，利用两个函数的最大值和最小值之间的关系来解题．