Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]，求g(x)=f(x)+f(x+

π

4

)的值域．

Answer 1

分析：（I）根据函数的最值求出A=2，利用周期公式算出ω=2．再将点（

2π

3

，-2）代入表达式解出φ=

π

6

，由此即可得到f（x）的解析式；
（II）根据（I）的结论算出g(x)=2

2

sin(2x+

5π

12

)，再利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得g（x）在 x∈[0，

π

6

]上的值域．

解答：解：（I）由最低点为M（

π

3

，-2），
可得函数的最小值为-2，所以A=2．
∵图象与x轴上相邻的两个交点之间的距离为

π

2

，
∴周期T满足

T

2

=

π

2

，
即T=π，解得ω=

2π

T

=2．
又∵点（

2π

3

，-2）在图象上，
∴2sin(2×

2π

3

+φ)=-2
可得sin(2×

2π

3

+φ)=-1，
∴

4π

3

+φ=-

π

2

+kπ（k∈Z）    
结合φ∈（0，

π

2

）取k=2得φ=

3π

2

-

4π

3

=

π

6

由此可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（II）由（1）的结论，可得
g(x)=2sin(2x+

π

6

)+2sin(2x+

π

2

+

π

6

)=2sin(2x+

π

6

)+2cos(2x+

π

6

)
∴利用辅助角公式，化简得g(x)=2

2

sin(2x+

5π

12

)
∵x∈[0，

π

6

]，得2x+

5π

12

∈[

5π

12

，

3π

4

]．
∴sin（2x+

5π

12

）∈[

2

2

，1]，
因此可得g（x）在x∈[0，

π

6

]上的值域为[2，2

2

]．

点评：本题着重考查了三角函数的解析式求法、正弦函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．