Question

已知数列{a_n}，{b_n}与函数f(x)，g(x)，x∈R满足条件：a_n＝b_n，f(b_n)＝g(b_n+1)(n∈N^*)．

(Ⅰ)若f(x)≥tx＋1，t≠0，t≠2，g(x)＝2x，f(b)≠g(b)，存在，求x的取值范围；

(Ⅱ)若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f^－1(x)，b＝1，f(1)＜1，证明对任意n∈N^*，(用t表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法一：由题设知得．又已知t≠2，可得 　　．……4分 　　由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知，所以是等比数列，其首项为，公比为，于是 　　，即． 　　又liman存在，可得，所以－2＜t＜2且t≠0． 　　．……8分 　　解法二：由题设知tbn＋1＝2bn+1，且t≠2，可得 　　．……4分 　　由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知，所以是首项为，公比为的等比数列． 　　． 　　由an＝2bn+1可知，若an存在，则bn存在，于是可得，所以－2＜t＜2且t≠0． 　　an＝2bn＝．……8分 　　解法三：由题设知tbn＋1＝2bn+1，即 　　 　　于是有 　　 　　②－①得bn+2－bn+1＝(bn+1－bn)，令cn＝bn+1－bn，得 　　．……4分 　　由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0可知，所以{cn}是首项为b2－b1，公比为的等比数列．于是 　　， 　　． 　　又an存在可得，所以－2＜t＜2且t≠0． 　　an＝．……8分 　　(Ⅱ)证明：因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn+1)＝f－1(bn+1)，即bn+1＝f(an)． 　　下面用数学归纳法证明an+1＜an(n∈N*)． 　　(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)＜1，得 　　a1＝f(b1)＝f(1)＜1， 　　b2＝f(a1)＜f(1)＜1， 　　a2＝f(b2)＜f(1)＝a1， 　　即a2＜a1，结论成立．……10分 　　(2)假设n＝k时结论成立，即ak+1＜ak，由f(x)为增函数，得 　　f(ak+1)＜f(ak)，即bk+2＜bk+1， 　　进而得 　　f(bk+2)＜f(bk+1)，即ak+2＜ak+1． 　　这就是说当n＝k＋1时，结论也成立． 　　根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N*，an+1＜an．……12分