Question

设是函数的一个极值点。

（1）求与的关系式（用表示），

（2）讨论的单调性；

（3）若函数在区间上存在零点，求的取值范围；

（4）设，。若存在，使得成立，求的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）＝－[x ²＋(a－2)x＋b－a ]

由=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ] ＝0，即得b＝－3－2a———3分

（2）＝－[x²＋(a－2)x－3－2a－a ＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]

＝－(x－3)(x＋a+1)

令＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，

①由于x＝3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠－4——————————4分

②当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

增区间为（3，-a-1），减区间为 （－∞，3）（-a-1，＋∞）——5分

③当a>－4时，x₂<3＝x₁，

增区间为（-a-1，3），减区间为（－∞，-a-1）（3，＋∞）———6分

（3）函数在区间上存在零点即在区间上有根

所以即在区间上有根——————————7分

令，则

则在上递减，在递增，——————————————————9分

又    所以的值域为

所以时，函数在区间上存在零点——————————10分

（4）当a>0时，在区间（0，3）上的递增，在区间（3，4）上递减，

而f (0)＝－（2a＋3）<0，f (4)＝（2a＋13）>0，f (3)＝a＋6

那么在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3），a＋6]——————12分

又在区间[0，4]上是增函数

它在区间[0，4]上的值域是————————   13分

由于，

所以只须且，

解得———————————————————————15分