Question

计算下列定积分:,由计算结果你能发现什么结论?

Answer 1

思路:利用微积分基本定理,计算曲边梯形的面积,从中发现结论.

探究:因为(-cosx)′=sinx,

所以=(-cosx)=(-cosπ)-(-cos0)=2;

=(-cosx)=(-cos2π)-(-cosπ)=-2;

=(-cosx)=(-cos2π)-(-cos0)=0.

由以上结果可以发现,定积分的值可能取正值,可能取负值,也可能取0.

(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0.