Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想a_n=；分二步证明即可：①当n=1时，去证明等式成立；②假设n=k时，等式成立，去推证n=k+1时，等式也成立即可．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=，
∴a₂==；
a₃===，a₄==；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：a_n=．
证明：①当n=1时，a₁=1，等式成立；
②假设n=k时，a_k=，
则当n=k+1时，a_k+1====，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N^*，a_n=．
点评：本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，猜得a_n=是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．