Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若 |x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，-1和2是f′（x）=3ax²+2bx-a²=0的两根，由韦达定理可求得a，b的值，从而得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）依题意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，又且|x₁|+|x₂|=2

2

，有(x1-x2)2=8．由韦达定理可求得b²=3a²（6-a），0＜a≤6，构造函数p（a）=3a²（6-a），通过导数法可求得p（a）的极大值，从而可得b的最大值；
（Ⅲ）由题意得，f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），x₂=a，可求得x₁=-

1

3

，从而有|g（x）|=|3a（x+

1

3

）（x-a）-a（x+

1

3

）|=|a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]|=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a²+

1

3

a，于是可求得|g（x）|_max=

a(3a+2)2

12

．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意又-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，
∴

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x（经检验，适合）…3′
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依题意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∵x₁x₂=-

a

3

＜0且|x₁|+|x₂|=2

2

，
∴(x1-x2)2=8．
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，
∴b²=3a²（6-a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p′（a）=-9a²+36a．
由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，
即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时p（a）有极大值96．
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．-----（9分）
（Ⅲ）∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x₁x₂=-

a

3

，x₂=a，
∴x₁=-

1

3

．
∴|g（x）|=|3a（x+

1

3

）（x-a）-a（x+

1

3

）|=|a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]|，
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a，
∴|g（x）|=a（x+

1

3

）（-3x+3a+1）
=-3a（x+

1

3

）（x-

3a+1

3

）
=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a²+

1

3

a
≤

3a3

4

+a²+

1

3

a
=

a(3a+2)2

12

．
|g（x）|_max=

a(3a+2)2

12

，当且仅当x=

a

2

时取“=”…15′

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数求闭区间上函数的最值，突出构造函数的思想与化归思想的综合运用，属于难题．