Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.

(1)求证:MN∥平面ACC₁A₁；

(2)求证:MN⊥平面A₁BC.

Answer 1

证明:由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

(1)连接AC₁、AB₁，由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.由矩形性质得AB₁经过A₁B的中点M，

又∵N为B₁C₁的中点，∴△AB₁C₁中，MN∥AC₁.

又∵AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁.∴MN∥平面ACC₁A₁.

(2)∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，且AC⊥BC,

∴BC⊥平面ACC₁A₁.又∵AC₁平面ACC₁A₁,

∴BC⊥AC₁.在正方形ACC₁A₁中，AC₁⊥A₁C.

由(1)知MN∥AC₁.∴MN⊥BC且MN∥A₁C.

又∵BC∩A₁C=C,∴MN⊥平面A₁BC.