Question

（2013•长宁区一模）已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ（n≥2），且n∈N^*），则数列{a_n}中项的最大值为

1

．

Answer 1

分析：把给出的数列递推式a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ变形后得到新数列{3ⁿa_n}，该数列是以3为首项，以1为公比的等比数列，求出其通项公式后，进一步求出数列{a_n}的通项公式，结合数列的函数特性分析出其单调性，从而求出数列{a_n}中项的最大值．

解答：解：由a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ（n≥2），
得：3nan=3n-1an-1+1（n≥2），
即3nan-3n-1an-1=1（n≥2），
所以，{3ⁿa_n}构成以3a₁=3为首项，以1为公差的等差数列．
则3ⁿa_n=3+（n-1）×1=n+2，
所以，an=

n+2

3n

．
令f(x)=

x+2

3x

，则f′(x)=

3x-(x+2)•3x

32x

=

3x(-x-1)

32x

=

-x-1

3x

，
当x∈（0，+∞）时，f^′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以，an=

n+2

3n

在n=1时有最大值，最大值a1=

1+2

3

=1．
则数列{a_n}中项的最大值为1．
故答案为1．

点评：本题考查了由数列的递推式求数列的通项公式，考查了构造新数列的方法，考查了数列的函数特性，训练了由导函数判断函数的单调性，此题是中档题．