Question

函数f(x)=x²-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3，试判断f(b^x)与f(c^x)的大小关系.

Answer 1

思路分析：比较函数值f(b^x)与f(c^x)的大小，要利用函数f(x)=x²-bx+c的单调性.讨论二次函数的单调性，关键要根据二次函数图像的开口方向、及对称轴的位置来研究函数的单调区间.根据已知条件f(1+x)=f(1-x)，可以得到函数f(x)的图像关于直线x=1对称.又二次函数f(x)=x²-bx+c的图像开口向上，且对称轴为x=1，从而得到函数的单调增区间为［1,+∞)和单调减区间为(-∞,1］，最后利用函数的增减性比较f(b^x)与f(c^x)的大小.

解：∵f(1+x)=f(1-x)，∴f(x)的图像关于直线x=1对称.

又∵f(x)=x²-bx+c，∴=1，即b=2.

又∵f(0)=3，∴c=3.∴f(x)=x²-2x+3.

∴函数f(x)=x²-2x+3在［1,+∞)上是增函数，在(-∞,1］上是减函数.

若x≥0,则3^x≥2^x≥1,∴f(3^x)≥f(2^x)；

若x＜0,则3^x＜2^x＜1,∴f(3^x)＞f(2^x).

综上所述，f(3^x)≥f(2^x)，即f(b^x)≤f(c^x).