Question

已知向量a与b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：(反证法)假设a＋b与a－b平行． 　　若a＝b，则a与b平行，与已知矛盾． 　　若a≠b，则a－b≠0，故存在λ∈R，使a＋b＝λ(a－b)，得 　　(1＋λ)b＝(λ－1)a． 　　当λ＝1时，得0·a＝2·b＝0，则b＝0与a平行，与已知矛盾． 　　当λ≠1时，则a＝·b，也有a∥b，与已知矛盾． 　　综上所述，可知a＋b与a－b不平行． 　　证法2：(坐标运算)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 　　∵ab，∴x1y2≠x2y1． 　　∵a＋b＝(x1＋x2，y1－y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 　　∴(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2) 　　＝－x1y2＋y1x2＋x2y1－x1y2 　　＝2(x2y1－x1y2)≠0． 　　∴a＋b与a－b不平行． 　　证法3：(几何法)如下图，因为a与b不平行，按照平行四边形法则知，a＋b与a－b对应着平行四边形ACBO的两条对角线、，显然它们不平行． 　　点评：向量的表示方法有字母形式、坐标形式、几何形式，以上三种证法体现了这三种不同形式的特点．