Question

已知函数，试问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

依题意，显然a≠0，∵，令，解得，(舍)， (1)当a＞0时，当x变化时，，f(x)的变化情况如下表： ∴当x=0时，f(x)取得最大值，∴f(0)=b=3． 又f(2)=－16a＋3，f(－1)=－7a＋3，f(－1)＞f(2)． ∴当x=2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3=－29，a=2． (2)当a＜0时，当x变化时，，f(x)的变化情况如下表： ∴当x=0时，f(x)取得最小值，∴f(0)=b=－29． 又f(2)=－16a－29，f(－1)=－7a－29，f(2)＞f(－1)． ∴当x=2时，f(x)取得最大值，即－16a－29=3，a=－2． 综上所述，存在a、b适合题设，且a=2，b=3或a=－2，b=－29．

提示：

解析：若存在a、b满足题设，则可利用导数求最值，列出关于a、b的方程，从而解出a、b的值．