Question

已知cos2θ=

7

25

，

π

2

＜θ＜π，
（1）求tanθ的值；   
（2）求

2cos2 θ 2 +sinθ

2 sin(θ+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及三角函数的平方关系将cos2θ=

7

25

，化为

cos2θ-sin2θ

cos2θ+sin2θ

=

7

25

，分子、分母同时除以余弦的平方得到

1-tan2θ

1+tan2θ

=

7

25

，解方程求出tanθ的值；
（2）由（1），利用同角三角函数的关系求出sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，利用二倍角公式及和角公式化简

2cos2 θ 2 +sinθ

2 sin(θ+ π 4 )

为

1+cosθ+sinθ

cosθ+sinθ

，将正弦、余弦值代入即可得到答案．

解答：解：（1）因为cos2θ=

7

25

，
所以

cos2θ-sin2θ

cos2θ+sin2θ

=

7

25

，
所以

1-tan2θ

1+tan2θ

=

7

25

解得tanθ=±

3

4

因为

π

2

＜θ＜π，
所以tanθ=-

3

4

（2）

2cos2 θ 2 +sinθ

2 sin(θ+ π 4 )

=

1+cosθ+sinθ

cosθ+sinθ

，
因为

π

2

＜θ＜π，tanθ=-

3

4

所以sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，
所以

2cos2 θ 2 +sinθ

2 sin(θ+ π 4 )

=

1+cosθ+sinθ

cosθ+sinθ

=

1- 4 5 + 3 5

- 4 5 + 3 5

=-4．

点评：本题考查利用三角函数的公式化简三角函数式，在化简中要注意1的灵活代替，利用同角三角函数的平方关系时，要注意角的范围．