Question

设函数f(x)对于任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2，试求函数f(x)在[－1，1]上的最值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要求函数最值，先判定该函数的单调性与奇偶性，然后利用其性质求最值． 　　解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中， 　　令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0， 　　令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 　　得f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 　　任取x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 　　知f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)． 　　当x＞0时，f(x)＜0，又x2－x1＞0， 　　所以f(x2－x1)＜0，得f(x2)＜f(x1)， 　　故f(x)在R上是减函数． 　　所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝2． 　　点评：抽象函数具有抽象性、综合性．解决此类问题，需立足单调性与奇偶性的定义和性质去破解．