Question

(理)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．

(Ⅰ)证明：AC⊥SB；

(Ⅱ)求二面角N－CM－B的大小；

(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)取AC中点D，连结SD、DB． 　　∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB． 　　(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM．∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角．∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC， 　　∴SD⊥平面ABC．又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD． 　　∵SN＝NB，∴NE＝SD＝＝＝， 　　且ED＝EB．在正△ABC中，由平几知识可求得EF＝MB＝，在Rt△NEF中，tan∠NFE＝＝2，∴二面角N－CM－B的大小是arctan2． 　　(Ⅲ)在Rt△NEF中，NF＝＝，∴S△CMN＝CM·NF＝，S△CMB＝BM·CM＝2． 　　设点B到平面CMN的距离为h，∵VB－CMN＝VN－CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h＝S△CMB·NE， 　　∴h＝＝．即点B到平面CMN的距离为． 　　解法二：(Ⅰ)取AC中点O，连结OS、OB．∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO． 　　∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO． 　　如图所示建立空间直角坐标系O－xyz．则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)．∴＝(－4，0，0)，＝(0，2，2)， 　　∵·＝(－4，0，0)·(0，2，2)＝0，∴AC⊥SB． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得＝(3，，0)，＝(－1，0，)． 　　设＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则 　　 　　取z＝1，则x＝，y＝－，∴＝(，－，1)， 　　又＝(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， 　　∴cos(，)＝＝． 　　∴二面角N－CM－B的大小为arccos． 　　(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得＝(－1，，0)，＝(，－，1)为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d＝＝