Question

（2011•丰台区二模）已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当0＜a≤

1

2

时，f（x）在[a²，a]单调递增，则f_max（x）=f（a），当

1

2

＜a＜

2

2

时，f（x）在(a2，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，a)单调递减，f_max（x）=f（

1

2

），当

1

2

≤a2，即

2

2

≤a＜1时，f（x）在[a²，a]单调递减，则f_max（x）=f（a²），从而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）．            …（1分）
∴f′(x)=

1

x

-2ax+(a-2)=

1-2ax2+(a-2)x

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

．     …（3分）
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1．                                                         …（5分）
当a=-1时，在(

1

2

，1)内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=-1．                      …（6分）
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1．                                             …（7分）f′(x)=

1

x

-2ax+(a-2)=

1-2ax2+(a-2)x

x

=-

(2x-1)(ax+1)

x

∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在(0，

1

2

)上单调递增；在(

1

2

，+∞)上单调递减，…（9分）
①当0＜a≤

1

2

时，f（x）在[a²，a]单调递增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a；                               …（10分）
②当

a＞ 1 2 a2＜ 1 2

，即

1

2

＜a＜

2

2

时，f（x）在(a2，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，a)单调递减，
∴fmax(x)=f(

1

2

)=-ln2-

a

4

+

a-2

2

=

a

4

-1-ln2；                    …（11分）
③当

1

2

≤a2，即

2

2

≤a＜1时，f（x）在[a²，a]单调递减，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²．                            …（12分）
综上所述，当0＜a≤

1

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
当

1

2

＜a＜

2

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是

a

4

-1-ln2；
当a≥

2

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．
…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．