Question

(理)设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，前n项和为S_n，且S_n+2-(t+1)S_n+1+tS_n=0(n∈N^*)．

(1)证明：数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；

(2)当＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；

(3)若＜t＜2，b_n=，求证：．

(文)设S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=(a_n-1)(n∈N^*)，数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3(n∈ N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若将数列{a_n}与{b_n}的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列{d_n}，证明：数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹(n∈N^*)．

Answer 1

答案：(埋)(1)由S_n+2-(t+1)S_n+1+tS_n=0，

得(t+1)S_n+1=S_n+2+tS_n，即a_n+2=ta_n+1，

而a₁=t，a₂=t²

所以，数列{a_n}是以t为首项、t为公比的等比数列．

于是a_n=tⁿ．

(2)∵(tⁿ+t^-n)-(2ⁿ+2^-n)=(tⁿ-2ⁿ)[1-]

且＜t＜2

∴＜1，∴tⁿ-2ⁿ＜0且1-()ⁿ＜0

∴(tⁿ-2ⁿ)[1-()ⁿ]＜0

∴tⁿ+t^-n＜2ⁿ+2^-n．

(3)=(tⁿ+t^-n)

∴2()＜(2+2²+…+2ⁿ)+(2^-1+2^-2+…+2^-n)=2(2ⁿ-1)+1-2^-n=2ⁿ⁺¹-(1+2^-n)＜2ⁿ⁺¹

∴.

(文)(1)∵S_n=(a_n-1)(n∈N^*)，

∴a₁=S₁=(a₁-1)，

∴a₁=3．

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(a_n-1)(a_n-1-1)，

∴a_n=3a_n-1，即=3(n≥2).

∴数列{a_n}是以3为首项、公比为3的等比数列，

∴a_n=3·3^n-1=3ⁿ(n∈N^*)．

(2)由(1)知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．

∵a₃=27=4×6+3，

∴d₁=27是数列{b_n}中的第6项，

设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，

则3^k=4m+3(k、m∈N^*)．

∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3(4m+3)=4(3m+2)+1，

∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．

∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9(4m+3)=4(9m+6)+3，

∴a_k+2是数列{b_n}中的项．

∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a²ⁿ⁺¹，

∴数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹(n∈N^*)．