Question

设a，b∈R₊(i＝1，2，…，n)，且a＋b＝2．

求证：≥2．

Answer 1

答案：
解析：

证明：根据柯西不等式，有 　　[(2－a)＋(2－b)]() 　　＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝4． 　　∴≥＝2． 　　∴原不等式成立． 　　思路分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值．因而需出现(a2＋b2)(c2＋d2)结构．把视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a)＋(2－b)．

提示：

利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．