Question

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}对任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n
（1）求证{b_n}为等比数列；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

分析：（1）求证{b_n}为等比数列，可由等比数列的定义进行证明，由题设条件b_n=a_n+1-

1

2

a_n，结合a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），研究{b_n}相邻两项的关系，再由定义得出结论．
（2）由（1），求出{b_n}的首项，写出等比数列的通项公式；
（3）先由b_n=a_n+1-

1

2

a_n，得到数列{a_n}的递推关系，结合a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求出数列{a_n}的通项公式，再求出前n项和，求极限即可．

解答：证明：（1）bn+1=an+2-

1

2

an+1=

1

3

an+1+(

1

2

)n+2-

1

2

[

1

3

an+(

1

2

)n+1]=

1

3

（an+1-

1

2

an）=

1

3

b_n
若b_n=0，则an+1=

1

2

an，可得出

1

2

an=

1

3

an+(

1

2

)n+1，解得a_n=3×(

1

2

)n
∴a₁=

3

2

，不满足条件，故

bn+1

bn

=

1

3

，即数列{b_n}是等比数列；
（2）b1=a2-

1

2

a1=

1

3

a1+(

1

2

)2-

1

2

a1=

1

9

，∴bn=(

1

3

)n+1
（3）an+1-

1

2

an=bn=(

1

3

)n+1，又an+1=

1

3

an+(

1

2

)n+1
∴

1

3

an+(

1

2

)n+1-

1

2

an=(

1

3

)n+1，∴a_n=3×(

1

2

)n-2×(

1

3

)n
S_n=3[

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+(

1

2

)n]-

1

2

[

1

3

+

1

9

+

1

27

+…+(

1

3

)n]
=3×

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-2×

1 3 ×[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=(

1

3

)n-3×(

1

2

)n+2
∴

lim

n→∞

S_n=2

点评：本题考查求数列的极限，是数列中综合性强难度较大的题，解此类题的关键是充分理解并运用题设中的条件及数列的相关的性质，求出数列的通项，数列的n项和，的表达式，再根据极限的运算法则，求出数列的极限，本题考查了推理判断的能力及构造变形的能力，运算较繁琐，易出错．