Question

已知抛物线的方程为x²＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M．

(Ⅰ)证明：l₁⊥l₂；

(Ⅱ)求点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋， 　　将其代入x2＝2y，消去y整理得x2－2kx－1＝0．　　2分 　　设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－1．　　3分 　　将抛物线的方程改写为y＝x2，求导得＝x． 　　所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2， 　　因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．　　6分 　　(Ⅱ)解： 　　直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1)， 　　同理，直线l2的方程为y－＝x2(x－x2)， 　　联立这两个方程，消去y得＝x2(x－x2)－x1(x－x1)， 　　整理得(x1－x2)＝0，注意到x1≠x2，所以x＝．　　10分 　　此时y＝．　　12分 　　由(Ⅰ)知，x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R， 　　所以点M的轨迹方程是y＝．　　14分