Question

设函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）若a＞

1

2

时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，且对任意x₁，x₂∈[0，1]时，求|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间；
（II）利用x=1时，f（x）有极值，可得f′（1）=0，即可得到a的值．利用导数研究函数f（x）在区间[0，1]上的单调性即可得出要求的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]，
当a＞

1

2

时，f′(x)=aex(x+

1

a

)(x+2)，且-

1

a

＞-2．由f′（x）＞0，解得x＞-

1

a

或x＜-2；由f′（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

a

．
∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和(-

1

a

，+∞)上单调递增，在区间(-2，-

1

a

)上单调递减．
（II）∵x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=e（a+2a+1+2）=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1），当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴对任意x₁，x₂∈[0，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（0）=e-1，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围是[0，e-1]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数在某个区间上的取值范围等基础知识与基本方法，属于中档题．