Question

从椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=

10

+

5

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：欲求椭圆方程，只需求出a，b的值即可，因为过点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，所以F₁O=c，由AB∥OP，可得，
△PF₁O与△BOA相似，所以

PF1

F1O

=

BO

OA

，就此可得到一个含a，b，c的等式，因为，|F1A|=

10

+

5

，所以a+c=

10

+

5

，又得到一个含a，b，c的等式，再根据椭圆中，a²=b²+c²，就可解出a，b，c，得到椭圆的标准方程．

解答：解：∵AB∥OP
∴

PF1

F1O

=

BO

OA

⇒PF1=

bc

a

又∵PF₁⊥x轴
∴

c2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2

a

∴b=c
由

a+c= 10 + 5 b=c a2=b2+c2

解得：

a= 10 b= 5 c= 5

∴椭圆方程为

x2

10

+

y2

5

=1．

点评：本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的标准方程，关键是找三个含a，b，c的等式，联立解方程组．