Question

2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为一直角梯形，BC⊥CD，CD⊥AD，AD=2BC，PC⊥底面ABCD，E为PA的中点．
（1）证明：EB∥平面PCD； 
（2）若PC=CD，证明：BE⊥平面PDA．

Answer 1

分析 （1）取PD中点F，连结EF，CF，证明：四边形CBEF为平行四边形，可得BE∥CF，即可证明EB∥平面PCD； 
（2）若PC=CD，证明CF⊥平面PAD，由（1）知BE∥CF，即可证明：BE⊥平面PDA．

解答 证明：（1）取PD中点F，连结EF，CF．
因为E为PA中点，F为PD中点，
所以EF∥AD且AD=2EF，
又因为BC⊥CD，AD⊥CD，
所以CB∥AD，
又由AD=2CB
所以EF∥CB，CB=EF，
所以四边形CBEF为平行四边形
所以BE∥CF，
又因为CF?平面PCD，BE?平面PCD
所以BE∥平面PCD；
（2）F为PD中点，PC=CD，
所以CF⊥PD，
因为PC⊥底面CBAD，
所以PC⊥AD，
又AD⊥CD，PC∩CD=C，
所以AD⊥平面PCD，
又CF?平面PCD，
所以AD⊥CF，
又PD∩AD=D，
所以CF⊥平面PAD，
由（1）知BE∥CF，
所以BE⊥平面PAD．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．