Question

6．已知m∈R且m＜-1，试解关于x的不等式：（m+3）x²-（2m+3）x+m＞0．

Answer 1

分析 讨论m=-3时，原不等式变为3x-3＞0，求出解集；m≠-3时，原不等式（x-1）[（m+3）x-m]＞0，分-3＜m＜-1和m＜-3时，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：当m=-3时，不等式（m+3）x²-（2m+3）x+m＞0变为3x-3＞0，
解得x＞1；  …（2分）
m≠-3时，不等式（m+3）x²-（2m+3）x+m＞0变为
（x-1）[（m+3）x-m]＞0，
当-3＜m＜-1时，1＞$\frac{m}{m+3}$，解不等式得x＞1或x＜$\frac{m}{m+3}$；…（5分）
当m＜-3时，1＜$\frac{m}{m+3}$，解不等式得1＜x＜$\frac{m}{m+3}$；…（8分）
综上，当m=-3时，原不等式的解集为（1，+∞）；
当-3＜m＜-1时，原不等式的解集为（-∞，$\frac{m}{m+3}$）∪（1，+∞）；
当m＜-3时，原不等式的解集为（1，$\frac{m}{m+3}$）．…（10分）

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论的应用问题，是中档题目．