Question

14．已知函数f（x）=|3x-4|．
（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|-4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；
（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；
（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（-$\frac{1}{3}$，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|-4=|3x-4|+|x+2|-4，
图象如图所示，
由图象可得，x=$\frac{4}{3}$，g（x）有最小值-$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）由题意，|3x-4|＜5，可得-$\frac{1}{3}$＜x＜3，∴p，q∈（-$\frac{1}{3}$，3），
∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，
∴λ≥15．

点评 本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．