Question

已知(b－c)log_mx＋(c－a)log_my＋(a－b)log_mz＝0，

(1)若a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：x，y，z成等比数列；

(2)若正数x，y，z成等比数列，且公比q≠1，求证：a，b，c成等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，

　　∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0．

　　代入已知条件得－d(log_mx－2log_my＋log_mz)＝0．

　　∵d≠0，∴log_mx＋log_mz＝2log_my．

　　∴y²＝xz．由于x，y，z均大于0，

　　∴x，y，z成等比数列．

　　(2)∵x，y，z成等比数列，且公比q≠1，x，y，z均大于0，

　　∴＝＝q(q≠1)．

　　两边取对数得log_my－log_mx＝log_mz－log_my＝log_mq≠0，

　　代入已知条件中，可得

　　(b－c)(log_my－log_mq)＋(c－a)log_my＋(a－b)(log_my＋log_mq)＝0．

　　∴(a－2b＋c)log_mq＝0．

　　∴a＋c＝2b．

　　∴a，b，c成等差数列．