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    用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=n2（n+1）2.

    思路分析：本题是运用数学归纳法证明恒等式问题，在第二步n=k+1时，要通过提取公因式进行因式分解.

    证明：（Ⅰ）当n=1时，左边=13=1，右边=·12·(1+1)2=1，故等式成立.

    (Ⅱ)假设n=k（k∈N且k≥1）时等式成立.

    即13+23+33+…+k3=k2(k+1)2成立.

    则当n=k+1时，13+23+33+…+k3+(k+1)3

    =k2(k+1)2+(k+1)3

    =(k+1)2+［k2+4(k+1)］

    =(k+1)2(k+1)2

    =(k+1)2［(k+1)+1］2.

    即当n=k+1时等式也成立.

    综合(Ⅰ)(Ⅱ)，对一切n∈N，等式都成立.

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    +
    1
    4
    +…+
    1
    2n-1
    ≤n    ”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是
    1
    2k
    +
    1
    2k+1
    +
    1
    2k+2
    +…+
    1
    2k-1-1
    1
    2k
    +
    1
    2k+1
    +
    1
    2k+2
    +…+
    1
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    ．

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    1
    2n-1
    -
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    =
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
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    1
    2
    +n    （n∈N*）

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    用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=n2（++）.

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