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    用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=n2（++）.

    证明：（1）当n=1时，左=1=1·（++）=右，等式成立.

    （2）假设n=k时等式成立即：13+23+33+…+k3=k2（++），则n=k+1时，

    13+23+33+…+（k+1）3

    =k2（++）+（k+1）3

    =k2+（k+1）3

    =（k+1）2（+k+1）

    =（k+1）2［++］.

    ∴当n=k+1时，等式成立.

    由（1）（2）知原等式对任意正整数都成立.

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    +
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    +…+
    1
    2n-1
    ≤n    ”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是
    1
    2k
    +
    1
    2k+1
    +
    1
    2k+2
    +…+
    1
    2k-1-1
    1
    2k
    +
    1
    2k+1
    +
    1
    2k+2
    +…+
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