Question

若a，b∈R，记函数f（x）=max{|x-1|，5-x²}（x∈R），则函数f（x）的最小值是________．

Answer 1

1
分析：根据max{a，b}的定义，分类讨论得到f（x）的分段函数的表达式．再由函数x＜或x＞2时，|x-1|的最小值大于1，而≤x≤2时5-x²的最小值为1，由此可得函数的最小值为1．
解答：①当|x-1|≤5-x²时，即-5+x²≤x-1≤5-x²，
解之得≤x≤2时，f（x）=max{|x-1|，5-x²}=5-x²，
②当x＜或x＞2时，|x-1|＞5-x²，
f（x）=max{|x-1|，5-x²}=|x-1|
综上所述，f（x）=
∵x＜或x＞2时，|x-1|＞|2-1|=1
≤x≤2时，5-x²的最小值为5-2²=1
∴函数f（x）的最小值是1
故答案为：1
点评：本题给出max{a，b}的定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了一次函数、二次函数的图象与性质和函数最值的求法等知识，属于中档题．