Question

（2006•成都一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

2

)，且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+…+f（2005）+f（2006）=（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：定义在R上的函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

2

)⇒f（x+3）=f（x）⇒f（x）是周期为3的函数；又f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2⇒f（1）=f（2）=-1，f（3）=2⇒f（1）+f（2）+f（3）=0，从而可求f（1）+f（2）+…+f（2005）+f（2006）的值．

解答：解：∵f(x)=-f(x+

3

2

)=-[-f(x+

3

2

+

3

2

)]=f(x+3)，
∴f（x）是以3为周期的函数；
又f（1）=f（-2+3）=f（-2）=-1，f（2）=f（-1+3）=f（-1）=-1，f（3）=f（0+3）=f（0）=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，同理，f（4）+f（5）+f（6）=0，…
∴f（1）+f（2）+…+f（2005）+f（2006）=f（2005）+f（2006）
=f（3×668+1）+f（3×668+2）=f（1）+f（2）=-2．
故选A．

点评：本题考查函数的周期性，关键在于利用函数的周期性由“f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2”求得f（1）f（2）f（3）的值，从而得到规律，属于中档题．