Question

试判断以下各组函数是否表示同一函数:

(1)f(x)=,g(x)=;

(2)f(x)=,g(x)=;

(3)f(x)=,g(x)=()^2n-1(n∈N^*);

(4)f(x)=,g(x)=;

(5)f(x)=x²-2x-1,g(t)=t²-2t-1.

Answer 1

剖析:对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.

解:(1)由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.

    (2)由于函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，

    而g(x)= 的定义域为R，所以它们不是同一函数.

    (3)由于当n∈N^*时，2n±1为奇数，

    所以f(x)==x,g(x)=()^2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同.故它们是同一函数.

    (4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

    (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

讲评:(1)第(5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f(x)=x²+1,f(t)=t²+1,f(u+1)=(u+1)²+1都可视为同一函数.(2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.