Question

已知数列{a_n}中，an=

2n-1(n为奇数) 3n(n为偶数)

，试求数列{a_n}的前n项之和S_n．

Answer 1

分析：首先对n进行奇偶数讨论，（1）当n为奇数时，其中有

n-1

2

项为偶数项，

n+1

2

项为奇数项，则知偶数项是以b₁=9为首项，q=3²=9 的等比数列，奇数项是以c₁=2×1-1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求出数列{a_n}的前n项之和S_n，（2）当当n为偶数时，其中有

n

2

项为偶数项，

n

2

为奇数项，直接根据等比数列和等差数列求和公式求出数列{a_n}的前n项之和S_n．

解答：解：（1）当n为奇数时，其中有

n-1

2

项为偶数项，

n+1

2

项为奇数项，（1分）
偶数项是以b₁=9为首项，q=3²=9 的等比数列，
故偶数项的和Sn =

9(  1-9 n-1 2 )

1-9

=

9

8

(3n-1-1)                     （5分）
奇数项是以c₁=2×1-1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，
故奇数项的和sn=

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×4=

(n+1)2

2

-

n+1

2

，（7分）
则{a_n}的前n项之和Sn = 

(n+1)2

2

-

n+1

2

+

9

8

(3n-1-1)（n为奇数）         （8分）
（2）当n为偶数时，其中有

n

2

项为偶数项，

n

2

为奇数项，（9分）
故偶数项的和Sn =

9(  1-9 n 2 )

1-9

=

9

8

(3n-1)，（11分）
奇数项的和sn=

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×4=

n2

2

-

n

2

，（12分）
则{a_n}的前n项之和Sn =

9

8

(3n-1) +

n2

2

-

n

2

（n为偶数）．                  （14分）

点评：本题主要考查数列的求和的知识点，解答本题的关键是对n进行奇偶数分类讨论，还要熟练掌握等差、等比数列的性质和求和公式，本题难度一般．