Question

17．已知函数y=2sin（ωx+φ）（0＜ω＜2π）的部分图象如图所示，点A（$-\frac{π}{6}$，0），B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（$\frac{7π}{12}$，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{EA}）•（ω\overrightarrow{AC}）$的值是（　　）

• A． 2π²
• B． π²
• C． 2
• D． 以上答案均不正确

Answer 1

分析 根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，利用周期性求得ω，可得C、B的坐标，再根据线段EF关于点B对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值．

解答 解：根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象可得
$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-（-$\frac{π}{6}$），
解得ω=2；
∵2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=π，
∴φ=$\frac{4π}{3}$，
∴函数y=2sin（2x+$\frac{4π}{3}$），
可得C（$\frac{5π}{6}$，0），
故AC的中点为B（$\frac{π}{3}$，0）；
由题意可得线段EF关于点B对称，则
（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{EA}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AE}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）
=2$\overrightarrow{AB}$•2$\overrightarrow{AC}$
=4|AB|•|AC|
=4•$\frac{T}{2}$•T
=2T²
=2•${（\frac{2π}{2}）}^{2}$
=2π²．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，两个向量的加减法及其几何意义，是综合题．